 |
| TS Vũ Khắc Kỷ. Ảnh: Trường Đại học FPT. |
TS Vũ Khắc Kỷ, giảng viên bộ môn Toán của trường Đại học FPT, cùng GS Trần Mạnh Tuấn, Đại học Khoa học và Công nghệ Trung Quốc, vừa công bố chứng minh hoàn chỉnh cho giả thuyết Courtade-Kumar - bài toán đã thách thức giới toán học quốc tế từ năm 2013.
Đáng chú ý, gần như cùng thời điểm, một nhóm nghiên cứu gồm các nhà khoa học từ Google và nhiều trường đại học trên thế giới cũng tìm ra lời giải độc lập cho giả thuyết này.
Ông Vahab Mirrokni, Phó chủ tịch Google Research, người lãnh đạo các nhóm nghiên cứu về thuật toán và tối ưu hóa tại Google, đã công bố kết quả của nhóm mình, đồng thời ghi nhận và chúc mừng công trình của hai nhà nghiên cứu Việt Nam.
Hơn 10 năm theo đuổi bài toán chưa có lời giải
Giả thuyết Courtade-Kumar (hay Most Informative Boolean Function Conjecture) được hai nhà toán học Thomas Courtade và Gowtham Kumar đề xuất năm 2013.
Bài toán xuất phát từ một câu hỏi rất tự nhiên trong truyền tin và xử lý thông tin. Cụ thể, khi dữ liệu bị nhiễu trên đường truyền, ta nên chọn và xử lý thông tin ban đầu theo cách nào để sau cùng vẫn giữ lại được nhiều thông tin nhất.
Giả thuyết Courtade-Kumar đưa ra một dự đoán tưởng chừng đơn giản. Thay vì kết hợp nhiều bit dữ liệu theo những quy tắc phức tạp, chiến lược tối ưu chỉ cần giữ lại một bit duy nhất. Tuy nhiên, việc chứng minh nhận định này lại là thách thức lớn. Suốt hơn một thập kỷ, các nhà toán học trên thế giới mới chỉ giải quyết được những trường hợp riêng lẻ, chưa tìm được lời giải hoàn chỉnh cho trường hợp tổng quát.
Theo ông Vahab Mirrokni, đây là một bài toán mở lâu năm, nằm ở giao điểm giữa lý thuyết thông tin và giải tích hàm Boolean. Giả thuyết còn có mối liên hệ với nhiều bài toán cực trị và các bất đẳng thức quan trọng trong toán học.
Đối với TS Vũ Khắc Kỷ, hành trình tìm lời giải bắt đầu từ khoảng 10 năm trước, khi ông thực hiện nghiên cứu sau tiến sĩ tại Đại học Trung văn Hong Kong (Trung Quốc).
Trong thời gian làm việc tại nhóm nghiên cứu lý thuyết thông tin, ông được GS Chandra Nair giới thiệu về giả thuyết Courtade-Kumar. Nhận thấy đây là một bài toán thú vị, ông dành khoảng hai năm nghiên cứu nhưng không đạt được kết quả như mong muốn.
Tháng 1/2019, sau khi trở về Việt Nam giảng dạy tại trường Đại học FPT, TS Kỷ vẫn thỉnh thoảng quay lại với giả thuyết này. Tuy nhiên, những phương pháp ông thử nghiệm đều gặp phải các rào cản đã được giới toán học nhận diện trước đó.
Bước ngoặt xuất hiện vào năm 2025, khi ông bắt đầu nghiên cứu sâu hơn về hình học thông tin và tìm cách ứng dụng các công cụ hình học để giải quyết một số vấn đề trong học máy.
Từ hướng tiếp cận mới, TS Kỷ nhận thấy giả thuyết Courtade-Kumar có nhiều cấu trúc liên quan đến entropy, thông tin tương hỗ và sự biến đổi của thông tin dưới tác động của nhiễu. Ông quyết định quay lại bài toán từng nhiều lần khiến mình phải dừng bước.
 |
| TS Kỷ tại một sự kiện của trường Đại học FPT. Ảnh: NTCC. |
Cũng trong giai đoạn này, ông bắt đầu hợp tác với GS Trần Mạnh Tuấn, hiện là giáo sư được bổ nhiệm đặc biệt tại Đại học Khoa học và Công nghệ Trung Quốc - người chuyên nghiên cứu về xác suất rời rạc và tổ hợp.
Sự kết hợp giữa các công cụ tổ hợp, xác suất và cấu trúc rời rạc của GS Tuấn với hướng nghiên cứu entropy và giải tích của TS Kỷ giúp hai nhà khoa học liên tục thử nghiệm, kiểm tra và cải thiện các ý tưởng.
Từ quá trình thử nghiệm và sàng lọc, hai nhà khoa học dần xây dựng được một cấu trúc chứng minh kết hợp các ước lượng entropy, phổ Fourier của hàm Boolean và một số bất đẳng thức sắc.
Nhóm từng bước mở rộng phạm vi chứng minh, giải quyết những trường hợp còn lại và cuối cùng đi đến lời giải cho trường hợp tổng quát, bao gồm cả các hàm Boolean không cân bằng.
Ngày 21/9, công trình mang tên Dictators are most informative của Vũ Khắc Kỷ và Trần Mạnh Tuấn được đăng tải trên arXiv - kho lưu trữ trực tuyến dành cho các tiền ấn phẩm khoa học.
Hai nhóm nghiên cứu độc lập cùng tìm ra lời giải
Trong quá trình nghiên cứu, trí tuệ nhân tạo (AI) cũng được sử dụng để hỗ trợ kiểm tra giả thuyết và tìm kiếm phản ví dụ, qua đó giúp nhóm nhanh chóng nhận diện những hướng tiếp cận không khả thi.
“AI không thay thế phần chứng minh toán học nhưng giúp chúng tôi biết rất nhanh một ý tưởng có đáng để tiếp tục hay không. Khi một hướng sai, việc tìm được phản ví dụ sớm có thể tiết kiệm hàng tuần làm việc”, TS Kỷ chia sẻ.
Một chi tiết đáng chú ý là trong khi TS Vũ Khắc Kỷ và GS Trần Mạnh Tuấn hoàn thiện công trình, một nhóm nghiên cứu quốc tế khác cũng đang tiến rất gần đến lời giải cho cùng giả thuyết.
Trước khi công bố bài báo, TS Kỷ chủ động gửi email cho GS Chandra Nair, người từng giới thiệu bài toán này với ông khoảng 10 năm trước, để thông báo kết quả nghiên cứu.
Trong thư phản hồi, GS Nair cho biết nhóm của ông, cùng các nhà khoa học từ Google và một số trường đại học khác, cũng vừa hoàn thành chứng minh cho giả thuyết Courtade-Kumar.
Sau khi trao đổi, hai nhóm nhận ra họ đã độc lập đi đến cùng một kết quả bằng những phương pháp rất khác nhau.
Trong khi bản thảo của nhóm nghiên cứu quốc tế gồm 7 tác giả dài hơn 250 trang, công trình của hai nhà toán học Việt Nam chỉ khoảng 36 trang. Tuy nhiên, sự khác biệt về độ dài không phản ánh chất lượng hay giá trị của từng lời giải. Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng và cần được cộng đồng toán học tiếp tục đánh giá.
Do nhóm của GS Nair cần thêm thời gian hoàn thiện bản thảo dài với nhiều phép tính, TS Kỷ và GS Tuấn quyết định lùi thời điểm công bố công trình của mình. Hai nhóm sau đó thống nhất công bố các lời giải độc lập vào cùng thời điểm.
Công trình của TS Kỷ và GS Tuấn đã giải quyết một bài toán mở tồn tại nhiều năm trong lý thuyết thông tin và giải tích Boolean. Đồng thời, nó còn mở ra khả năng ứng dụng những công cụ được sử dụng trong chứng minh, đặc biệt là các bất đẳng thức entropy và cách khai thác cấu trúc của toán tử nhiễu trên không gian Boolean cho những bài toán khác.
Kết quả này cũng cho thấy các nhà nghiên cứu tại Việt Nam có thể tham gia trực tiếp vào những vấn đề nền tảng đang được cộng đồng toán học quốc tế quan tâm, khi có hướng tiếp cận phù hợp và đủ thời gian để theo đuổi những câu hỏi khó.
Bạn đang cảm thấy mình đã quá tuổi để học?
Được học - câu chuyện về cô gái 17 mới được đến trường lần đầu và đã trở thành tiến sĩ ngành Sử học về sau - hơn cả một câu chuyện truyền cảm hứng về học tập. Đó là hành trình đi tìm bản ngã của Tara Westover, khi cô đánh mất gia đình mình với những lời cáo buộc nghiệt ngã. Đó là sự trưởng thành về nhận thức trước một thế giới rộng lớn hơn gấp nhiều lần những gì cô được nhồi nhét trước kia. Đó là một hành trình giáo dục mà không phải ai cũng sẽ dễ dàng hoàn thành được. Độc giả có thể tìm hiểu thêm về Được học tại đây.
